TRANSFORMASI GEOMETRI

--> 

1. TRANLASI

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

·   Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

·   Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai  

·   Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi  , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ^’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan  maka diperoleh bayangannya  . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan Didapat,  Perhatikan bahwa  

Ini berarti  diperoleh dengan mentranslasikan   dengan  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai  

Oleh karena  dan  maka

Akibatnya, titik   ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan   sebagai berikut

Sifat:

·         Dua buah translasi berturut-turut  diteruskan dengandapat digantikan dengan translasi tunggal

·         Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh:

1.      Translasi memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a.       Tentukan translasi tersebut !

b.      Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(-5, 6) oleh translasi tersebut.

c.       Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya!

d.      Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2  ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?

Jawaban

a.

            Diperoleh        1+p = 4 sehingga p = 3

                                    2+q = 6 sehingga q = 4

            Jadi translasi tersebut adalah

b. translasi  artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

c.

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

d.    translasi titik

     

     

     

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.  

2.      Tentukan bayangan lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 jika ditranslasikan !

Jawab

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 sehingga diperoleh (a-3)² + (b+1)² = 4

Translasikan titik P dengan   sehingga diperoleh

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat  b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4

                  (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4 jika ditranslasikan denganadalah (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

2. REFLEKSI

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi	Rumus	Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap garis x=k
Refleksi terhadap garis y=k
Refleksi terhadap titik (p,q)	Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k

SIFAT-SIFAT

a.       Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b.      Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:

§  Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.

§  Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.

c.       Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.

d.      Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

§  Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

§  Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.

§  Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

3. ROTASI

Rotasi	Rumus	Matriks
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Keterangan

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam

α - : arah putaran searah putaran jarum jam

SIFAT-SIFAT

Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

4. DILATASI

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

• Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar

• Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

• Jika k = ± 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi	Rumus	Matriks
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor dilatasi k
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

5. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi	Rumus	Matriks
Identitas
Translasi
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap garis x=k
Refleksi terhadap garis y=k
Refleksi terhadap titik (p,q)	Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

Komposisi transformasi

1. komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi   dan . Jika translasi  dilanjutkan translasi  maka dinotasikan ”” dan translasi tunggalnya adalah T=T₁+T₂=T₂+T₁(sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a.      refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x'=2(b-a)+x

y'=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x'=x

y'=2(b-a)+y

b.      refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah   sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

c.       refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah   dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan

d.      sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat
1. Diketahui rotasi R₁(P(a,b),α) dan R₂(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R₁ dilanjutkan R₂ adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
2. Rotasi R₁ dilanjutkan R₂ sama dengan rotasi R₂ dilanjutkan R₁
4. komposisi transformasi

Diketahui transformasi  maka transformasi tunggal dari transformasi:

1. T₁ dilanjutkan T₂ (T₂ ◦ T₁) adalah T=T₂ . T₁
2. T₂ dilanjutkan T₁ (T₁ ◦ T₂) adalah T=T₁ . T₂

Catatan T₁ . T₂ = T₂ . T₁

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi !

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

            P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

            P'(y,x) ditranslasi  . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

             Jadi     x'' = y +3 → y = x''-3

                        y'' = x +2 → x = y'' -2

                        persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

                                                            -4y''  + 8 +  x'' – 3 = 5

                                                                        x'' - 4y''= 0

            jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

1. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.
2. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k² +L
 
 
sumber : http://www.google.com